復習コーナー
第１回で学んだこと
• 身の周りにある磁性材料をハードディスクを例に紹介した。
• 磁界、磁化、磁束密度、磁極、磁気モーメントなどについて概念を紹介した。
• 磁界の測定方法、磁化の測定方法を紹介した。
• 軟質(ソフト)磁性、硬質(ハード)磁性の磁化曲線を示した。
前回の問題
• 1mあたり10000巻きのコイルに1Aの電流を流したときの磁界の強さはSI単位ではいくらか。cgs単位ではいくらか。
•
答え：10000A/m=126Oe
• ホール素子を使って磁界の大きさを測定できることを説明せよ。
• 半導体に電流を流しながら面に垂直に磁界を印加すると、ローレンツ力でキャリアの進行方向が曲げられるが、外部回路が開いていると電荷が蓄積しホール電圧が生じる。（正解者：芳澤君のみ）
学生からの質問
•
電気双極子モーメントと磁気双極子モーメントに依存性はありますか。(大野君)
• 回答：互いに無関係です。特に、光の周波数においては、電磁界の変化に磁気モーメントは追従できなくなりますが、電気双極子モーメントは追従できます。
• 磁気モーメントが整列していると磁化が生じ、スピン軌道相互作用を通じて、電気双極子モーメントに影響を与えます。これが磁気光学効果です。
学生からの質問
• 講義中で出てきた下のグラフの横軸は何なのですか（小山君）
• 
図は、第２種超伝導体の相図です。縦軸は、磁界の強さ、横軸は、絶対温度です。
• 第１種超伝導体で電磁石を
つくると、磁界が浸入すると
超伝導が破れます。右図の
ような第２種超伝導体では、
超伝導と常伝導の共存状態
があります。
磁石を切るとどうなる
• 
磁石は分割しても小さな磁石ができるだけ。
• 両端に現れる磁極の大きさ(単位Wb/cm2)は小さくしても変わらない。
• Ｎ極のみ、Ｓ極のみを単独で取り出せない。
磁化過程と磁区(domain)
(a)は着磁される前、すなわち磁石としての性質を示さない状態を表しています。構造的に、内部のスピンは互いにうち消しあって磁石としての性質がゼロになるような配置をしています。外から磁界を加えると、 (b)のようにその方向を向くものが増え、その体積も増えていきます。
(c)のように全部のスピンが同一方向を向くとこれ以上磁化が増えないので、飽和したといいます。
磁性体を顕微鏡で見ると
• 図は、磁性微粒子の磁性体に塗布して顕微鏡で観察した磁区像である。(ビッターパターン)
•
外部磁界を加えないとき、磁性体は全体がいくつかの磁区に分かれ全体としての磁化を打ち消している。
ファラデー効果を用いた磁区イメージング
• 
ファラデー効果を用いて磁区を画像化
磁気力顕微鏡で見ると
• 磁気力顕微鏡(MFM)は、微小な磁石を尖端部にもつカンチレバーに働く磁気力を測定し画像化する。光学顕微鏡を使っては観測できない小さな磁区もMFMを使えば観測できる。
mmサイズの磁性体と環流磁区
• 表面に磁極を作らない磁気構造が環流磁区(closure
domain)である。
• 90°磁壁にそって生じるわずかな磁極のため、MFM画像が見られる
ナノ構造磁性体の磁極
• 
図は、シリコンに埋め込んだ100nm×300nmのサイズの磁性体ドットの電子顕微鏡像と磁気力顕微鏡像である。
• 白・黒の対が並んでいるが、白がS極、黒がN極である。
究極の磁石：原子磁気モーメント
• さらにどんどん分割して
原子のレベルに達しても
磁極はペアで現れる
• この究極のペアにおける
磁極の大きさと間隔の積を磁気モーメントとよぶ
• 原子においては、電子の軌道運動による電流と電子のスピンよって磁気モーメントが生じる。
磁気モーメント
• 一様な磁界H中の磁気モーメントに働くトルクTは
²
T=qH r sinq=mH sinq
• 磁気モーメントのもつポテンシャルE は
Ø
E=òTdq= ò mH sinq dq=1-mHcosq
E=-m×H
環状電流と磁気モーメント
• 電子の周回運動→環状電流
-e[C]の電荷が半径a[m]の円周上を線速度v[m/s]で周回
→１周の時間は2pa/v[s]
→電流はi=-ev/2πa[A]。
• 磁気モーメントは、電流値iに円の面積
S=p a2をかけることにより求められ、
m=iS=-eav/2となる。
• 一方、角運動量はG=mav であるから、これを使うと磁気モーメントはm=-(e/2m) G となる。
軌道角運動量の量子的扱い
• 量子論によると角運動量は hを単位とするとびとびの値をとり、電子軌道の角運動量はGl=hLである。Lは整数値をとる
•
m=-(e/2m)
Gに代入すると
もう一つの角運動量：スピン
•
電子スピン量子数sの大きさは1/2
• 量子化軸方向の成分szは±1/2の２値をとる。
• スピン角運動量はh を単位としてGs=hsとなる。
• スピン磁気モーメントはms=-(e/m)Gsと表される。
•
従って、ms=-(eh/m)s=-
2mBs
•
実際には上式の係数は、2より少し大きな値g(自由電子の場合g=2.0023)をもつので、 ms=- gmBsと表される。
スピンとは？
• ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる。
• スピンはどのように導入されたか
• Na(ナトリウム)のD線のゼーマン効果（磁界をかけるとスペクトル線が２本に分裂する。）を説明するためには、電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため、導入された量子数である。
• 電子スピン、核スピン
電子の軌道占有の規則
• 各軌道には最大２個の電子が入ることができる
• 電子はエネルギーの低い軌道から順番に入る
• エネルギーが等しい軌道があれば、まず電子は１個ずつ入り、その後、２個目が入っていく
主量子数と軌道角運動量量子数
•
主量子数 n
•
軌道角運動量量子数 l=n-1, .... ,0
|
n |
l |
m |
軌道 |
縮重度 |
||||
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
1s |
2 |
|
2 |
0 |
|
|
0 |
|
|
2s |
2 |
|
1 |
|
1 |
0 |
-1 |
|
2p |
6 |
|
|
3 |
0 |
|
|
0 |
|
|
3s |
2 |
|
1 |
|
1 |
0 |
-1 |
|
3p |
6 |
|
|
2 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
3d |
10 |
|
元素の周期表
３ｄ遷移元素
• WebElementsTM
Periodic table
• （http://www.webelements.com/）より
ちょっと量子力学
角運動量演算子Lのマジック
• L=r´p /h =(ypz-zpy,
zpx-xpz, xpy-ypx)
/h
•
演算子L2の固有値 l(l+1); Lzの固有値m
L2Fl= l(l+1) Fl
; LzFm=mFm
•
昇降演算子L+=Lx+iLy, L-=Lx-iLyを導入
LzL+Fm=(m+1) L+Fm； LzL-Fm=(m-1) L-Fm
L+Fmは固有値m+1をもつLzの固有状態
m=lならば、 L+Fm =0；最大の固有値を増加できない
すなわち、 L+F l
=0
同様にL-Fm
は固有値m-1をもつLzの固有状態
また、m=-lならばL-F-l
=0
軌道角運動量量子と電子分布の形
• s, p, d, f は軌道の型を表し、それぞれが方位量子数l=0, 1, 2, 3に対応する。sには電子分布のくびれが0であるが、ｐには１つのくびれが、ｄには２つのくびれが存在する。
局在した原子(多電子系)の合成角運動量
• 軌道角運動量の加算
軌道角運動量(方位)量子数をlとすると、その量子化方向成分（磁気量子数）m=lzは、 l, l-1・・・-l+1, -lの2l+1とおりの値を持ちうる。
• １原子に２個のp電子があったとする。
p電子の方位量子数lは1であるから、磁気量子数はm=1, 0, -1の３つの値をもつ。原子の合成軌道角運動量L=2、Lz=2, 1, 0, -1, -2をとる。
フントの規則
• 原子が基底状態にあるときのL,
Sを決める規則
1. 原子内の同一の状態(n, l, ml, msで指定される状態)には1個の電子しか占有できない。(Pauli排他律)
2. 基底状態では、可能な限り大きなSと、可能な限り大きなLを作るように、sとlを配置する。(Hundの規則1)
3. 上の条件が満たされないときは、Sの値を大きくすることを優先する。(Hundの規則2)
4. 基底状態の全角運動量Jは、less than halfではJ=|L-S| 、more than halfではJ=L+Sをとる。
多重項の表現
•
左肩の数字 2S+1 (スピン多重度)
•
S=0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2に対応して、1, 2, 3, 4, 5, 6
•
読み方singlet, doublet, triplet, quartet, quintet, sextet
• 中心の文字 Lに相当する記号
• L=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6に対応してS, P, D, F, G, H, I・・・
• 右下の数字 Jz
•
例：Mn2+(3d5)
S=5/2 (2S+1=6), L=0 (→記号：S)
6S5/2
演習コーナー
3価遷移金属イオンのL,S,Jを求め多重項の表現を記せ
3価遷移金属イオンの磁気モーメント
ここではスピン、軌道ともに寄与するものとせよ。（固体中に置かれたときは、軌道の寄与は消滅する)
磁気モーメント=-(L+gS) mB~-(L+2S) mB
軌道：ml=-(eh/2m)L=-
mBL
スピン：ms=- gmBs
mtotal =- mBL- gmBs
=-(L+gS)mB~-(L+2S) mB=-gJ mBJ
ここにJは全角運動量、gJはLandeのg因子
• 例：Cr2+; L=2, S=2, J=0; mtotal =0
• Fe2+; L=2, S=2, J=4; gJ=3/2;
mtotal =-3 mB
軌道角運動量とスピン角運動量の寄与
• 3d遷移イオン：磁気モーメントの実験値：スピンのみの値に一致（軌道角運動量の消滅）
4f希土類イオン：磁気モーメントの実験値：全角運動量による値と一致
遷移金属イオンの電子配置
演習コーナー
3価遷移金属イオンのL,S,Jを求め多重項の表現を記せ
|
イオン |
電子配置 |
L |
S |
J |
多重項 |
|
Ti3+ |
[Ar]3d1 |
|
|
|
|
|
V3+ |
[Ar]3d2 |
|
|
|
|
|
Cr3+ |
[Ar]3d3 |
|
|
|
|
|
Mn3+ |
[Ar]3d4 |
|
|
|
|
|
Fe3+ |
[Ar]3d5 |
|
|
|
|
|
Co3+ |
[Ar]3d6 |
|
|
|
|
|
Ni3+ |
[Ar]3d7 |
|
|
|
|